გადაწყვიტეთ (x+6)-(3x+1)^2=1

$$( x + 6 ) - ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x+6-\left(9x^{2}+6x+1\right)=1$$

9x^{2}+6x+1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x+6-9x^{2}-6x-1=1$$

დააჯგუფეთ x და -6x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-5x+6-9x^{2}-1=1$$

გამოაკელით 1 6-ს 5-ის მისაღებად.

$$-5x+5-9x^{2}=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$-5x+5-9x^{2}-1=0$$

გამოაკელით 1 5-ს 4-ის მისაღებად.

$$-5x+4-9x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-9x^{2}-5x+4=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -9x^{2}+ax+bx+4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=-9\times 4=-36$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=4 b=-9$$

ხელახლა დაწერეთ -9x^{2}-5x+4, როგორც \left(-9x^{2}+4x\right)+\left(-9x+4\right).

$$\left(-9x^{2}+4x\right)+\left(-9x+4\right)$$

-x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(9x-4\right)-\left(9x-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 9x-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(9x-4\right)\left(-x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 9x-4=0 და -x-1=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x+6-\left(9x^{2}+6x+1\right)=1$$

9x^{2}+6x+1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x+6-9x^{2}-6x-1=1$$

დააჯგუფეთ x და -6x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-5x+6-9x^{2}-1=1$$

გამოაკელით 1 6-ს 5-ის მისაღებად.

$$-5x+5-9x^{2}=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$-5x+5-9x^{2}-1=0$$

გამოაკელით 1 5-ს 4-ის მისაღებად.

$$-5x+4-9x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-9x^{2}-5x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -9-ით a, -5-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 4}}{2\left(-9\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-9\right)\times 4}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+36\times 4}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ 36-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\left(-9\right)}$$

მიუმატეთ 25 144-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\left(-9\right)}$$

აიღეთ 169-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\left(-9\right)}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±13}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -9.

$$x=\frac{5±13}{-18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±13}{-18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 13-ს.

$$x=\frac{18}{-18}$$

გაყავით 18 -18-ზე.

$$x=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±13}{-18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 13 5-ს.

$$x=-\frac{8}{-18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-8}{-18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{4}{9}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1 x=\frac{4}{9}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x+6-\left(9x^{2}+6x+1\right)=1$$

9x^{2}+6x+1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x+6-9x^{2}-6x-1=1$$

დააჯგუფეთ x და -6x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-5x+6-9x^{2}-1=1$$

გამოაკელით 1 6-ს 5-ის მისაღებად.

$$-5x+5-9x^{2}=1$$

გამოაკელით 5 ორივე მხარეს.

$$-5x-9x^{2}=1-5$$

გამოაკელით 5 1-ს -4-ის მისაღებად.

$$-5x-9x^{2}=-4$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}-5x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$\frac{-9x^{2}-5x}{-9}=-\frac{4}{-9}$$

-9-ზე გაყოფა აუქმებს -9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-9}\right)x=-\frac{4}{-9}$$

გაყავით -5 -9-ზე.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=-\frac{4}{-9}$$

გაყავით -4 -9-ზე.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{4}{9}$$

გაყავით \frac{5}{9}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{18}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{18}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{18} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

მიუმატეთ \frac{4}{9} \frac{25}{324}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{169}{324}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{169}{324}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{324}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{13}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{13}{18}$$

გამოაკელით \frac{5}{18} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$