გადაწყვიტეთ (x+5)(x-8)=2x(x+5)+3x(x-8)

$$( x + 5 ) ( x - 8 ) = 2 x ( x + 5 ) + 3 x ( x - 8 )$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{519}i+11}{8}\approx 1.375-2.847696437i$$

$$x=\frac{11+\sqrt{519}i}{8}\approx 1.375+2.847696437i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+5 x-8-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{2}-3x-40=2x\left(x+5\right)+3x\left(x-8\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x x+5-ზე.

$$x^{2}-3x-40=2x^{2}+10x+3x\left(x-8\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x x-8-ზე.

$$x^{2}-3x-40=2x^{2}+10x+3x^{2}-24x$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და 3x^{2}, რათა მიიღოთ 5x^{2}.

$$x^{2}-3x-40=5x^{2}+10x-24x$$

დააჯგუფეთ 10x და -24x, რათა მიიღოთ -14x.

$$x^{2}-3x-40=5x^{2}-14x$$

გამოაკელით 5x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{2}-3x-40-5x^{2}=-14x$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -5x^{2}, რათა მიიღოთ -4x^{2}.

$$-4x^{2}-3x-40=-14x$$

დაამატეთ 14x ორივე მხარეს.

$$-4x^{2}-3x-40+14x=0$$

დააჯგუფეთ -3x და 14x, რათა მიიღოთ 11x.

$$-4x^{2}+11x-40=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -4-ით a, 11-ით b და -40-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-4\right)\left(-40\right)}}{2\left(-4\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-4\right)\left(-40\right)}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+16\left(-40\right)}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 16-ზე -40.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-640}}{2\left(-4\right)}$$

მიუმატეთ 121 -640-ს.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-519}}{2\left(-4\right)}$$

აიღეთ -519-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-11±\sqrt{519}i}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{519}i}{-8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±\sqrt{519}i}{-8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -11 i\sqrt{519}-ს.

$$x=\frac{-11+\sqrt{519}i}{-8}$$

გაყავით -11+i\sqrt{519} -8-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{519}i+11}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±\sqrt{519}i}{-8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{519} -11-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{519}i-11}{-8}$$

გაყავით -11-i\sqrt{519} -8-ზე.

$$x=\frac{11+\sqrt{519}i}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{519}i+11}{8} x=\frac{11+\sqrt{519}i}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+5 x-8-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{2}-3x-40=2x\left(x+5\right)+3x\left(x-8\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x x+5-ზე.

$$x^{2}-3x-40=2x^{2}+10x+3x\left(x-8\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x x-8-ზე.

$$x^{2}-3x-40=2x^{2}+10x+3x^{2}-24x$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და 3x^{2}, რათა მიიღოთ 5x^{2}.

$$x^{2}-3x-40=5x^{2}+10x-24x$$

დააჯგუფეთ 10x და -24x, რათა მიიღოთ -14x.

$$x^{2}-3x-40=5x^{2}-14x$$

გამოაკელით 5x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{2}-3x-40-5x^{2}=-14x$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -5x^{2}, რათა მიიღოთ -4x^{2}.

$$-4x^{2}-3x-40=-14x$$

დაამატეთ 14x ორივე მხარეს.

$$-4x^{2}-3x-40+14x=0$$

დააჯგუფეთ -3x და 14x, რათა მიიღოთ 11x.

$$-4x^{2}+11x-40=0$$

დაამატეთ 40 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$-4x^{2}+11x=40$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$\frac{-4x^{2}+11x}{-4}=\frac{40}{-4}$$

-4-ზე გაყოფა აუქმებს -4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{11}{-4}x=\frac{40}{-4}$$

გაყავით 11 -4-ზე.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{40}{-4}$$

გაყავით 40 -4-ზე.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-10$$

გაყავით -\frac{11}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-10+\frac{121}{64}$$

მიუმატეთ -10 \frac{121}{64}-ს.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{519}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{519}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{519}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{519}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{519}i}{8}$$

მიუმატეთ \frac{11}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{11+\sqrt{519}i}{8} x=\frac{-\sqrt{519}i+11}{8}$$