გადაწყვიტეთ (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

ამოხსნა v-ისთვის

$$v=-1$$

$$v=7$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(v+4\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

გამოაკელით 2v^{2} ორივე მხარეს.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

დააჯგუფეთ v^{2} და -2v^{2}, რათა მიიღოთ -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

გამოაკელით 2v ორივე მხარეს.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

დააჯგუფეთ 8v და -2v, რათა მიიღოთ 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

გამოაკელით 9 16-ს 7-ის მისაღებად.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -v^{2}+av+bv+7. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=7 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ -v^{2}+6v+7, როგორც \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

-v-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი v-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით v-7=0 და -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(v+4\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

გამოაკელით 2v^{2} ორივე მხარეს.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

დააჯგუფეთ v^{2} და -2v^{2}, რათა მიიღოთ -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

გამოაკელით 2v ორივე მხარეს.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

დააჯგუფეთ 8v და -2v, რათა მიიღოთ 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

გამოაკელით 9 16-ს 7-ის მისაღებად.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 6-ით b და 7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 36 28-ს.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 64-ის კვადრატული ფესვი.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება v=\frac{-6±8}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 8-ს.

$$v=\frac{2}{-2}$$

გაყავით 2 -2-ზე.

$$v=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება v=\frac{-6±8}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8 -6-ს.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

გაყავით -14 -2-ზე.

$$v=7$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$v=-1 v=7$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(v+4\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

გამოაკელით 2v^{2} ორივე მხარეს.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

დააჯგუფეთ v^{2} და -2v^{2}, რათა მიიღოთ -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

გამოაკელით 2v ორივე მხარეს.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

დააჯგუფეთ 8v და -2v, რათა მიიღოთ 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

გამოაკელით 16 ორივე მხარეს.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

გამოაკელით 16 9-ს -7-ის მისაღებად.

$$-v^{2}+6v=-7$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

გაყავით 6 -1-ზე.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

გაყავით -7 -1-ზე.

$$v^{2}-6v=7$$

გაყავით -6, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -3-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -3-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

მიუმატეთ 7 9-ს.

$$v^{2}-6v+9=16$$

დაშალეთ მამრავლებად v^{2}-6v+9. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

გაამარტივეთ.

$$v-3=4 v-3=-4$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$v=7 v=-1$$