გადაწყვიტეთ (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(5x-2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

განვიხილოთ \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

დაშალეთ \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

დააჯგუფეთ 25x^{2} და -4x^{2}, რათა მიიღოთ 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

შეკრიბეთ 4 და 1, რათა მიიღოთ 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

გამოაკელით 47 ორივე მხარეს.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

გამოაკელით 47 5-ს -42-ის მისაღებად.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

დააჯგუფეთ -20x და -x, რათა მიიღოთ -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

ორივე მხარე გაყავით 21-ზე.

$$x^{2}-x-2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-2 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-x-2, როგორც \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ x x^{2}-2x-ში.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-2=0 და x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(5x-2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

განვიხილოთ \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

დაშალეთ \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

დააჯგუფეთ 25x^{2} და -4x^{2}, რათა მიიღოთ 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

შეკრიბეთ 4 და 1, რათა მიიღოთ 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

გამოაკელით 47 ორივე მხარეს.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

გამოაკელით 47 5-ს -42-ის მისაღებად.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

დააჯგუფეთ -20x და -x, რათა მიიღოთ -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 21-ით a, -21-ით b და -42-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

აიყვანეთ კვადრატში -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

გაამრავლეთ -84-ზე -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

მიუმატეთ 441 3528-ს.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

აიღეთ 3969-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

-21-ის საპირისპიროა 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{21±63}{42} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 21 63-ს.

$$x=\frac{84}{42}$$

გაყავით 84 42-ზე.

$$x=2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{21±63}{42} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 63 21-ს.

$$x=-\frac{42}{42}$$

გაყავით -42 42-ზე.

$$x=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=2 x=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(5x-2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

განვიხილოთ \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

დაშალეთ \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

დააჯგუფეთ 25x^{2} და -4x^{2}, რათა მიიღოთ 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

შეკრიბეთ 4 და 1, რათა მიიღოთ 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

დააჯგუფეთ -20x და -x, რათა მიიღოთ -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

გამოაკელით 5 ორივე მხარეს.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

გამოაკელით 5 47-ს 42-ის მისაღებად.

$$21x^{2}-21x=42$$

ორივე მხარე გაყავით 21-ზე.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

21-ზე გაყოფა აუქმებს 21-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

გაყავით -21 21-ზე.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

გაყავით 42 21-ზე.

$$x^{2}-x=2$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 2 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=-1$$