გადაწყვიტეთ (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(5x+7\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

გამოაკელით 16 ორივე მხარეს.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

გამოაკელით 16 49-ს 33-ის მისაღებად.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 25x^{2}+ax+bx+33. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 825.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 70.

$$a=15 b=55$$

ხელახლა დაწერეთ 25x^{2}+70x+33, როგორც \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

5x-ის პირველ, 11-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5x+3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 5x+3=0 და 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(5x+7\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

გამოაკელით 16 ორივე მხარეს.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

გამოაკელით 16 49-ს 33-ის მისაღებად.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 25-ით a, 70-ით b და 33-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

აიყვანეთ კვადრატში 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -100-ზე 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

მიუმატეთ 4900 -3300-ს.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

აიღეთ 1600-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-70±40}{50} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -70 40-ს.

$$x=-\frac{30}{50}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-30}{50} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-70±40}{50} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 40 -70-ს.

$$x=-\frac{110}{50}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-110}{50} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{11}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(5x+7\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

გამოაკელით 49 ორივე მხარეს.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

გამოაკელით 49 16-ს -33-ის მისაღებად.

$$25x^{2}+70x=-33$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

25-ზე გაყოფა აუქმებს 25-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{70}{25} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 5-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

გაყავით \frac{14}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{33}{25} \frac{49}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

გამოაკელით \frac{7}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$