გადაწყვიტეთ (4x+1)^2+9(4x+1)=-18

$$( 4 x + 1 ) ^ { 2 } + 9 ( 4 x + 1 ) = - 18$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=-1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$16x^{2}+8x+1+9\left(4x+1\right)=-18$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 9 4x+1-ზე.

$$16x^{2}+8x+1+36x+9=-18$$

დააჯგუფეთ 8x და 36x, რათა მიიღოთ 44x.

$$16x^{2}+44x+1+9=-18$$

შეკრიბეთ 1 და 9, რათა მიიღოთ 10.

$$16x^{2}+44x+10=-18$$

დაამატეთ 18 ორივე მხარეს.

$$16x^{2}+44x+10+18=0$$

შეკრიბეთ 10 და 18, რათა მიიღოთ 28.

$$16x^{2}+44x+28=0$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$4x^{2}+11x+7=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx+7. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=11 ab=4\times 7=28$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 11.

$$a=4 b=7$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}+11x+7, როგორც \left(4x^{2}+4x\right)+\left(7x+7\right).

$$\left(4x^{2}+4x\right)+\left(7x+7\right)$$

4x-ის პირველ, 7-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x+1\right)\left(4x+7\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+1=0 და 4x+7=0.

$$x=-1 x=-\frac{7}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$16x^{2}+8x+1+9\left(4x+1\right)=-18$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 9 4x+1-ზე.

$$16x^{2}+8x+1+36x+9=-18$$

დააჯგუფეთ 8x და 36x, რათა მიიღოთ 44x.

$$16x^{2}+44x+1+9=-18$$

შეკრიბეთ 1 და 9, რათა მიიღოთ 10.

$$16x^{2}+44x+10=-18$$

დაამატეთ 18 ორივე მხარეს.

$$16x^{2}+44x+10+18=0$$

შეკრიბეთ 10 და 18, რათა მიიღოთ 28.

$$16x^{2}+44x+28=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 16-ით a, 44-ით b და 28-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\times 16\times 28}}{2\times 16}$$

აიყვანეთ კვადრატში 44.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\times 16\times 28}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 16.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-64\times 28}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -64-ზე 28.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1792}}{2\times 16}$$

მიუმატეთ 1936 -1792-ს.

$$x=\frac{-44±\sqrt{144}}{2\times 16}$$

აიღეთ 144-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-44±12}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 16.

$$x=\frac{-44±12}{32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-44±12}{32} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -44 12-ს.

$$x=-\frac{32}{32}$$

გაყავით -32 32-ზე.

$$x=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-44±12}{32} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12 -44-ს.

$$x=-\frac{56}{32}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-56}{32} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{7}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1 x=-\frac{7}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$16x^{2}+8x+1+9\left(4x+1\right)=-18$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 9 4x+1-ზე.

$$16x^{2}+8x+1+36x+9=-18$$

დააჯგუფეთ 8x და 36x, რათა მიიღოთ 44x.

$$16x^{2}+44x+1+9=-18$$

შეკრიბეთ 1 და 9, რათა მიიღოთ 10.

$$16x^{2}+44x+10=-18$$

გამოაკელით 10 ორივე მხარეს.

$$16x^{2}+44x=-18-10$$

გამოაკელით 10 -18-ს -28-ის მისაღებად.

$$16x^{2}+44x=-28$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$\frac{16x^{2}+44x}{16}=-\frac{28}{16}$$

16-ზე გაყოფა აუქმებს 16-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{44}{16}x=-\frac{28}{16}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{44}{16} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=-\frac{28}{16}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-28}{16} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=-\frac{7}{4}$$

გაყავით \frac{11}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{11}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{11}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{11}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{4}+\frac{121}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{4} \frac{121}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{9}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{3}{8}$$

გამოაკელით \frac{11}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-1 x=-\frac{7}{4}$$