გადაწყვიტეთ (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-18$$

$$x=6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

გადაამრავლეთ 16 და 3, რათა მიიღოთ 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

შეკვეცეთ უდიდეს საერთო გამყოფზე 2 8 და 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

ჯერადით \frac{x\sqrt{3}}{2}-ის გაზრდისთვის, გაზარდეთ ორივე, მრიცხველი და მნიშვნელი, ჯერადით და შემდეგ გაყავით.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

გამოსახულებების მიმატებისთვის ან გამოკლებისთვის, დაშალეთ ისინი, რათა გახადოთ მათი მნიშვნელი ერთნაირი. გაამრავლეთ 48-ზე \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

რადგან \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}-სა და \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}-ზე.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გადაამრავლეთ 48 და 4, რათა მიიღოთ 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

დაშალეთ \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გამოხატეთ 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} ერთიანი წილადის სახით.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გააბათილეთ 4 და 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

გადაამრავლეთ 16 და 3, რათა მიიღოთ 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

დააჯგუფეთ x^{2}\times 3 და x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

გამოაკელით 624 ორივე მხარეს.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

გამოაკელით 624 192-ს -432-ის მისაღებად.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$x^{2}+12x-108=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-108. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 12.

$$a=-6 b=18$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+12x-108, როგორც \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

x-ის პირველ, 18-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-6 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-6=0 და x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

გადაამრავლეთ 16 და 3, რათა მიიღოთ 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

შეკვეცეთ უდიდეს საერთო გამყოფზე 2 8 და 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

ჯერადით \frac{x\sqrt{3}}{2}-ის გაზრდისთვის, გაზარდეთ ორივე, მრიცხველი და მნიშვნელი, ჯერადით და შემდეგ გაყავით.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

გამოსახულებების მიმატებისთვის ან გამოკლებისთვის, დაშალეთ ისინი, რათა გახადოთ მათი მნიშვნელი ერთნაირი. გაამრავლეთ 48-ზე \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

რადგან \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}-სა და \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}-ზე.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გადაამრავლეთ 48 და 4, რათა მიიღოთ 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

დაშალეთ \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გამოხატეთ 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} ერთიანი წილადის სახით.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გააბათილეთ 4 და 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

გადაამრავლეთ 16 და 3, რათა მიიღოთ 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

დააჯგუფეთ x^{2}\times 3 და x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

გამოაკელით 624 ორივე მხარეს.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

გამოაკელით 624 192-ს -432-ის მისაღებად.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, 48-ით b და -432-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 2304 6912-ს.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

აიღეთ 9216-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-48±96}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -48 96-ს.

$$x=\frac{48}{8}$$

გაყავით 48 8-ზე.

$$x=6$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-48±96}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 96 -48-ს.

$$x=-\frac{144}{8}$$

გაყავით -144 8-ზე.

$$x=-18$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=6 x=-18$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

გადაამრავლეთ 16 და 3, რათა მიიღოთ 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

შეკვეცეთ უდიდეს საერთო გამყოფზე 2 8 და 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

ჯერადით \frac{x\sqrt{3}}{2}-ის გაზრდისთვის, გაზარდეთ ორივე, მრიცხველი და მნიშვნელი, ჯერადით და შემდეგ გაყავით.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

გამოსახულებების მიმატებისთვის ან გამოკლებისთვის, დაშალეთ ისინი, რათა გახადოთ მათი მნიშვნელი ერთნაირი. გაამრავლეთ 48-ზე \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

რადგან \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}-სა და \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}-ზე.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გადაამრავლეთ 48 და 4, რათა მიიღოთ 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

დაშალეთ \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გამოხატეთ 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} ერთიანი წილადის სახით.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

გააბათილეთ 4 და 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

გადაამრავლეთ 16 და 3, რათა მიიღოთ 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

დააჯგუფეთ x^{2}\times 3 და x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

გამოაკელით 192 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

გამოაკელით 192 624-ს 432-ის მისაღებად.

$$4x^{2}+48x=432$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

გაყავით 48 4-ზე.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

გაყავით 432 4-ზე.

$$x^{2}+12x=108$$

გაყავით 12, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 6-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 6-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

მიუმატეთ 108 36-ს.

$$x^{2}+12x+36=144$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+12x+36. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

გაამარტივეთ.

$$x+6=12 x+6=-12$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=6 x=-18$$