გადაწყვიტეთ (3x+1)^2=9

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 9$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

გამოაკელით 9 1-ს -8-ის მისაღებად.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 9x^{2}+ax+bx-8. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=6 ab=9\left(-8\right)=-72$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 6.

$$a=-6 b=12$$

ხელახლა დაწერეთ 9x^{2}+6x-8, როგორც \left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right)$$

3x-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-2=0 და 3x+4=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

გამოაკელით 9 1-ს -8-ის მისაღებად.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, 6-ით b და -8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 36 288-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

აიღეთ 324-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{-6±18}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±18}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 18-ს.

$$x=\frac{12}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{12}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{2}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±18}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 18 -6-ს.

$$x=-\frac{24}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-24}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{4}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x=9-1$$

გამოაკელით 1 9-ს 8-ის მისაღებად.

$$9x^{2}+6x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{8}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{8}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$$

გაყავით \frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8+1}{9}$$

მიუმატეთ \frac{8}{9} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=1$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{3}=1 x+\frac{1}{3}=-1$$

გამოაკელით \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$