გადაწყვიტეთ (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=8$$

$$x=15$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(23-x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 17 ხარისხი და მიიღეთ 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

გამოაკელით 289 ორივე მხარეს.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

გამოაკელით 289 529-ს 240-ის მისაღებად.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$120-23x+x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$x^{2}-23x+120=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+120. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -23.

$$a=-15 b=-8$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-23x+120, როგორც \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

x-ის პირველ, -8-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-15 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-15=0 და x-8=0.

$$x=15 x=8$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(23-x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 17 ხარისხი და მიიღეთ 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

გამოაკელით 289 ორივე მხარეს.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

გამოაკელით 289 529-ს 240-ის მისაღებად.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -46-ით b და 240-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 2116 -1920-ს.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

აიღეთ 196-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

-46-ის საპირისპიროა 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{46±14}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 46 14-ს.

$$x=\frac{60}{4}$$

გაყავით 60 4-ზე.

$$x=15$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{46±14}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 14 46-ს.

$$x=\frac{32}{4}$$

გაყავით 32 4-ზე.

$$x=8$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=15 x=8$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(23-x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 17 ხარისხი და მიიღეთ 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

გამოაკელით 529 ორივე მხარეს.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

გამოაკელით 529 289-ს -240-ის მისაღებად.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

გაყავით -46 2-ზე.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

გაყავით -240 2-ზე.

$$x^{2}-23x=-120$$

გაყავით -23, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{23}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{23}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{23}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

მიუმატეთ -120 \frac{529}{4}-ს.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-23x+\frac{529}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

მიუმატეთ \frac{23}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=15 x=8$$