გადაწყვიტეთ (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x+4\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x-2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

9x^{2}-12x+4-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

დააჯგუფეთ -9x^{2} და -40x^{2}, რათა მიიღოთ -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

დაამატეთ 205 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

შეკრიბეთ -4 და 205, რათა მიიღოთ 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5x 7-3x-ზე.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ -35x+15x^{2} 7+3x-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

დააჯგუფეთ 16x და -245x, რათა მიიღოთ -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

დააჯგუფეთ 4x^{2} და -49x^{2}, რათა მიიღოთ -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

დააჯგუფეთ -229x და 12x, რათა მიიღოთ -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

შეკრიბეთ 16 და 201, რათა მიიღოთ 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

გადაალაგეთ განტოლების წევრები, რათა მიიღოს სტანდარტული ფორმა. განალაგეთ წევრები უდიდესი ხარისხიდან უმცირეს ხარისხამდე თანმიმდევრობით.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს217 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 45. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 x-1-ზე 45x^{2}-217-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$45x^{2}-217=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 45 a-თვის, 0 b-თვის და -217 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

ამოხსენით განტოლება 45x^{2}-217=0, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$