გადაწყვიტეთ (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33.333333333$$

$$x=-100$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოთვალეთ2-ის 100 ხარისხი და მიიღეთ 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+100\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 10000 და 10000, რათა მიიღოთ 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x+100\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

გამოაკელით 4x^{2} ორივე მხარეს.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -4x^{2}, რათა მიიღოთ -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

გამოაკელით 400x ორივე მხარეს.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

დააჯგუფეთ 200x და -400x, რათა მიიღოთ -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

გამოაკელით 10000 ორივე მხარეს.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

გამოაკელით 10000 20000-ს 10000-ის მისაღებად.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -3x^{2}+ax+bx+10000. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -200.

$$a=100 b=-300$$

ხელახლა დაწერეთ -3x^{2}-200x+10000, როგორც \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

-x-ის პირველ, -100-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-100 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-100=0 და -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოთვალეთ2-ის 100 ხარისხი და მიიღეთ 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+100\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 10000 და 10000, რათა მიიღოთ 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x+100\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

გამოაკელით 4x^{2} ორივე მხარეს.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -4x^{2}, რათა მიიღოთ -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

გამოაკელით 400x ორივე მხარეს.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

დააჯგუფეთ 200x და -400x, რათა მიიღოთ -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

გამოაკელით 10000 ორივე მხარეს.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

გამოაკელით 10000 20000-ს 10000-ის მისაღებად.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, -200-ით b და 10000-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -200.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 40000 120000-ს.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ 160000-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

-200-ის საპირისპიროა 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{200±400}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 200 400-ს.

$$x=\frac{600}{-6}$$

გაყავით 600 -6-ზე.

$$x=-100$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{200±400}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 400 200-ს.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-200}{-6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{100}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოთვალეთ2-ის 100 ხარისხი და მიიღეთ 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+100\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 10000 და 10000, რათა მიიღოთ 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x+100\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

გამოაკელით 4x^{2} ორივე მხარეს.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -4x^{2}, რათა მიიღოთ -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

გამოაკელით 400x ორივე მხარეს.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

დააჯგუფეთ 200x და -400x, რათა მიიღოთ -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

გამოაკელით 20000 ორივე მხარეს.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

გამოაკელით 20000 10000-ს -10000-ის მისაღებად.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

გაყავით -200 -3-ზე.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

გაყავით -10000 -3-ზე.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

გაყავით \frac{200}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{100}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{100}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{100}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

მიუმატეთ \frac{10000}{3} \frac{10000}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

გამოაკელით \frac{100}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$