გადაწყვიტეთ (sqrt{2}+sqrt{5})^2-(2+sqrt{10})^2+sqrt{90}+(2sqrt{2}-1)(2sqrt{2}+1)

$$( \sqrt { 2 } + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( 2 + \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } + \sqrt { 90 } + ( 2 \sqrt { 2 } - 1 ) ( 2 \sqrt { 2 } + 1 )$$

შეფასება

$$\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\sqrt{2}-სა და \sqrt{5}-ის გასამრავლებლად გაამრავლეთ კვადრატული ფესვის რიცხვები.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\sqrt{5}-ის კვადრატია 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

შეკრიბეთ 2 და 5, რათა მიიღოთ 7.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2+\sqrt{10}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\sqrt{10}-ის კვადრატია 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

შეკრიბეთ 4 და 10, რათა მიიღოთ 14.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

14+4\sqrt{10}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

გამოაკელით 14 7-ს -7-ის მისაღებად.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

დააჯგუფეთ 2\sqrt{10} და -4\sqrt{10}, რათა მიიღოთ -2\sqrt{10}.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

კოეფიციენტი 90=3^{2}\times 10. გადაწერეთ ნამრავლის კვადრატული ფესვი \sqrt{3^{2}\times 10} კვადრატული ფესვების ნამრავლის \sqrt{3^{2}}\sqrt{10} სახით. აიღეთ 3^{2}-ის კვადრატული ფესვი.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

დააჯგუფეთ -2\sqrt{10} და 3\sqrt{10}, რათა მიიღოთ \sqrt{10}.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

განვიხილოთ \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

დაშალეთ \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

გადაამრავლეთ 4 და 2, რათა მიიღოთ 8.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

გამოაკელით 1 8-ს 7-ის მისაღებად.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

შეკრიბეთ -7 და 7, რათა მიიღოთ 0.

$$\sqrt{10}$$