გადაწყვიტეთ z^4-2z^2+3=0

$${ z }^{ 4 } -2 { z }^{ 2 } +3=0$$

ამოხსნა z-ისთვის

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}\approx -1.168770894+0.605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}}\approx 1.168770894-0.605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}\approx -1.168770894-0.605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}}\approx 1.168770894+0.605000334i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ჩაანაცვლეთ t-ით z^{2}.

$$t^{2}-2t+3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -2 b-თვის და 3 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$t=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება t=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$t=1+\sqrt{2}i t=-\sqrt{2}i+1$$

რადგან z=t^{2}, ამონახსნები მიიღება z=±\sqrt{t}-ის შეფასებით ყოველი t-თვის.

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}$$