გადაწყვიტეთ z^2-5z+7=0

$${ z }^{ 2 } -5z+7 = 0$$

ამოხსნა z-ისთვის

$$z=\frac{5+\sqrt{3}i}{2}\approx 2.5+0.866025404i$$

$$z=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2}\approx 2.5-0.866025404i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$z^{2}-5z+7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -5-ით b და 7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 7}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 7.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-28}}{2}$$

მიუმატეთ 25 -28-ს.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-3}}{2}$$

აიღეთ -3-ის კვადრატული ფესვი.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3}i}{2}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$z=\frac{5±\sqrt{3}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{5±\sqrt{3}i}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 i\sqrt{3}-ს.

$$z=\frac{5+\sqrt{3}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{5±\sqrt{3}i}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{3} 5-ს.

$$z=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$z=\frac{5+\sqrt{3}i}{2} z=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-5z+7=0$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$z^{2}-5z+7-7=-7$$

7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$z^{2}-5z=-7$$

გაყავით -5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$z^{2}-5z+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$z^{2}-5z+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ -7 \frac{25}{4}-ს.

$$z^{2}-5z+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად z^{2}-5z+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(z-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$z-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} z-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$z=\frac{5+\sqrt{3}i}{2} z=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2}$$