გადაწყვიტეთ y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=6$$

$$y=9$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

დაამატეთ 54 ორივე მხარეს.

$$y^{2}-15y+54=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ y^{2}-15y+54 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-15 ab=54$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -15.

$$a=-9 b=-6$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(y+a\right)\left(y+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით y-9=0 და y-6=0.

$$y=9 y=6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

დაამატეთ 54 ორივე მხარეს.

$$y^{2}-15y+54=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც y^{2}+ay+by+54. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -15.

$$a=-9 b=-6$$

ხელახლა დაწერეთ y^{2}-15y+54, როგორც \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

y-ის პირველ, -6-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი y-9 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით y-9=0 და y-6=0.

$$y=9 y=6$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$y^{2}-15y=-54$$

მიუმატეთ 54 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

-54-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

გამოაკელით -54 0-ს.

$$y^{2}-15y+54=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -15-ით b და 54-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

მიუმატეთ 225 -216-ს.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15-ის საპირისპიროა 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{15±3}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 15 3-ს.

$$y=\frac{18}{2}$$

გაყავით 18 2-ზე.

$$y=9$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{15±3}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 15-ს.

$$y=\frac{12}{2}$$

გაყავით 12 2-ზე.

$$y=6$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=9 y=6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

გაყავით -15, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{15}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{15}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{15}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

მიუმატეთ -54 \frac{225}{4}-ს.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}-15y+\frac{225}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=9 y=6$$