გადაწყვიტეთ x^4+x^3+x^2+x=left(x+1right)^2

$${ x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } + { x }^{ 2 } +x = { \left(x+1 \right) }^{ 2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=1$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=x^{2}+2x+1$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-x^{2}=2x+1$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$x^{4}+x^{3}+x=2x+1$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$x^{4}+x^{3}+x-2x=1$$

დააჯგუფეთ x და -2x, რათა მიიღოთ -x.

$$x^{4}+x^{3}-x=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$x^{4}+x^{3}-x-1=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს-1 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{4}+x^{3}-x-1 x-1-ზე x^{3}+2x^{2}+2x+1-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს1 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}+2x^{2}+2x+1 x+1-ზე x^{2}+x+1-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}+x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, 1 b-თვის და 1 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება x^{2}+x+1=0, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=1 x=-1 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=1$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=x^{2}+2x+1$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-x^{2}=2x+1$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$x^{4}+x^{3}+x=2x+1$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$x^{4}+x^{3}+x-2x=1$$

დააჯგუფეთ x და -2x, რათა მიიღოთ -x.

$$x^{4}+x^{3}-x=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$x^{4}+x^{3}-x-1=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს-1 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{4}+x^{3}-x-1 x-1-ზე x^{3}+2x^{2}+2x+1-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს1 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}+2x^{2}+2x+1 x+1-ზე x^{2}+x+1-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}+x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, 1 b-თვის და 1 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

ვინაიდან უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი არ არის განსაზღვრული რეალურ ველში, ამონახსნი არ არსებობს.

$$x\in \emptyset$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=1 x=-1$$