გადაწყვიტეთ x^2-8x+11=0

$${ x }^{ 2 } -8x+11=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{5}+4\approx 6.236067977$$

$$x=4-\sqrt{5}\approx 1.763932023$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-8x+11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -8-ით b და 11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 11}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 11.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-44}}{2}$$

მიუმატეთ 64 -44-ს.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{20}}{2}$$

აიღეთ 20-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

-8-ის საპირისპიროა 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{5}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±2\sqrt{5}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 8 2\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+8}{2}$$

გაყავით 8+2\sqrt{5} 2-ზე.

$$x=\sqrt{5}+4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±2\sqrt{5}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{5} 8-ს.

$$x=\frac{8-2\sqrt{5}}{2}$$

გაყავით 8-2\sqrt{5} 2-ზე.

$$x=4-\sqrt{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{5}+4 x=4-\sqrt{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-8x+11=0$$

გამოაკელით 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-8x+11-11=-11$$

11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-8x=-11$$

გაყავით -8, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -4-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -4-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-11+\left(-4\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x^{2}-8x+16=-11+16$$

მიუმატეთ -11 16-ს.

$$x^{2}-8x+16=5$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-8x+16. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=5$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

გაამარტივეთ.

$$x-4=\sqrt{5} x-4=-\sqrt{5}$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{5}+4 x=4-\sqrt{5}$$