გადაწყვიტეთ x^2-22x-23=0

$${ x }^{ 2 } -22x-23=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=23$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-22x-23 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-22 ab=-23$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-23 b=1$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-23\right)\left(x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-23=0 და x+1=0.

$$x=23 x=-1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-23. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-22 ab=1\left(-23\right)=-23$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-23 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-22x-23, როგორც \left(x^{2}-23x\right)+\left(x-23\right).

$$\left(x^{2}-23x\right)+\left(x-23\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ x x^{2}-23x-ში.

$$x\left(x-23\right)+x-23$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-23 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-23\right)\left(x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-23=0 და x+1=0.

$$x=23 x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-22x-23=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -22-ით b და -23-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-23\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-23\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -23.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+92}}{2}$$

მიუმატეთ 484 92-ს.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{576}}{2}$$

აიღეთ 576-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±24}{2}$$

-22-ის საპირისპიროა 22.

$$x=\frac{22±24}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{22±24}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 22 24-ს.

$$x=\frac{46}{2}$$

გაყავით 46 2-ზე.

$$x=23$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{22±24}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 24 22-ს.

$$x=-\frac{2}{2}$$

გაყავით -2 2-ზე.

$$x=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=23 x=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-22x-23=0$$

მიუმატეთ 23 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-22x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

-23-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-22x=-\left(-23\right)$$

გამოაკელით -23 0-ს.

$$x^{2}-22x=23$$

გაყავით -22, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -11-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -11-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-22x+\left(-11\right)^{2}=23+\left(-11\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -11.

$$x^{2}-22x+121=23+121$$

მიუმატეთ 23 121-ს.

$$x^{2}-22x+121=144$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-22x+121. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-11\right)^{2}=144$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-11\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

გაამარტივეთ.

$$x-11=12 x-11=-12$$

მიუმატეთ 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=23 x=-1$$