გადაწყვიტეთ x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=8$$

$$x=13$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-21x+104 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-21 ab=104$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -21.

$$a=-13 b=-8$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-13=0 და x-8=0.

$$x=13 x=8$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+104. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -21.

$$a=-13 b=-8$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-21x+104, როგორც \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

x-ის პირველ, -8-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-13 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-13=0 და x-8=0.

$$x=13 x=8$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-21x+104=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -21-ით b და 104-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

მიუმატეთ 441 -416-ს.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

აიღეთ 25-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

-21-ის საპირისპიროა 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{21±5}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 21 5-ს.

$$x=\frac{26}{2}$$

გაყავით 26 2-ზე.

$$x=13$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{21±5}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5 21-ს.

$$x=\frac{16}{2}$$

გაყავით 16 2-ზე.

$$x=8$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=13 x=8$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

გამოაკელით 104 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

104-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

გაყავით -21, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{21}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{21}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{21}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

მიუმატეთ -104 \frac{441}{4}-ს.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-21x+\frac{441}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{21}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=13 x=8$$