გადაწყვიტეთ x^2-10x-11=0

$${ x }^{ 2 } -10x-11=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=11$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-10x-11 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-10 ab=-11$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-11 b=1$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-11\right)\left(x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-11=0 და x+1=0.

$$x=11 x=-1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-11. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-10 ab=1\left(-11\right)=-11$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-11 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-10x-11, როგორც \left(x^{2}-11x\right)+\left(x-11\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(x-11\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ x x^{2}-11x-ში.

$$x\left(x-11\right)+x-11$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-11 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-11\right)\left(x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-11=0 და x+1=0.

$$x=11 x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-10x-11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -10-ით b და -11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-11\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+44}}{2}$$

მიუმატეთ 100 44-ს.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{144}}{2}$$

აიღეთ 144-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±12}{2}$$

-10-ის საპირისპიროა 10.

$$x=\frac{10±12}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±12}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 10 12-ს.

$$x=\frac{22}{2}$$

გაყავით 22 2-ზე.

$$x=11$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±12}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12 10-ს.

$$x=-\frac{2}{2}$$

გაყავით -2 2-ზე.

$$x=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=11 x=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x-11=0$$

მიუმატეთ 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}-10x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}-10x=-\left(-11\right)$$

გამოაკელით -11 0-ს.

$$x^{2}-10x=11$$

გაყავით -10, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -5-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -5-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=11+\left(-5\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x^{2}-10x+25=11+25$$

მიუმატეთ 11 25-ს.

$$x^{2}-10x+25=36$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-10x+25. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=36$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

გაამარტივეთ.

$$x-5=6 x-5=-6$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=11 x=-1$$