გადაწყვიტეთ x^2+x+1=0

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 1-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

მიუმატეთ 1 -4-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

აიღეთ -3-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 i\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{3} -1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+x=-1$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ -1 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+x+\frac{1}{4}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$