გადაწყვიტეთ x^2+4x-1=0

$${ x }^{ 2 } +4x-1=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0.236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+2\right)\approx -4.236067977$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+4x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 4-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$$

მიუმატეთ 16 4-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2}$$

აიღეთ 20-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 2\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}$$

გაყავით -4+2\sqrt{5} 2-ზე.

$$x=\sqrt{5}-2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{5} -4-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{2}$$

გაყავით -4-2\sqrt{5} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{5}-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$x^{2}+4x=1$$

გაყავით 4, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 2-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 2-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+4x+2^{2}=1+2^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x^{2}+4x+4=1+4$$

მიუმატეთ 1 4-ს.

$$x^{2}+4x+4=5$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+4x+4. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=5$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

გაამარტივეთ.

$$x+2=\sqrt{5} x+2=-\sqrt{5}$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0.236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-2\approx -4.236067977$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+4x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 4-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$$

მიუმატეთ 16 4-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2}$$

აიღეთ 20-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 2\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}$$

გაყავით -4+2\sqrt{5} 2-ზე.

$$x=\sqrt{5}-2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{5} -4-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{2}$$

გაყავით -4-2\sqrt{5} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{5}-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$x^{2}+4x=1$$

გაყავით 4, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 2-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 2-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+4x+2^{2}=1+2^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x^{2}+4x+4=1+4$$

მიუმატეთ 1 4-ს.

$$x^{2}+4x+4=5$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+4x+4. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=5$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

გაამარტივეთ.

$$x+2=\sqrt{5} x+2=-\sqrt{5}$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$