გადაწყვიტეთ x^2+3x+7=0

$${ x }^{ 2 } +3x+7=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2}\approx -1.5+2.179449472i$$

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}\approx -1.5-2.179449472i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+3x+7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 3-ით b და 7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 7}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 7}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2}$$

მიუმატეთ 9 -28-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2}$$

აიღეთ -19-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 i\sqrt{19}-ს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{19} -3-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x+7=0$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+3x+7-7=-7$$

7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+3x=-7$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ -7 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}$$