გადაწყვიტეთ x^2+25x+100=0

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-20$$

$$x=-5$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+25x+100 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=25 ab=100$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 25.

$$a=5 b=20$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+5=0 და x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+100. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 25.

$$a=5 b=20$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+25x+100, როგორც \left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

x-ის პირველ, 20-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x+5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x+5=0 და x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+25x+100=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 25-ით b და 100-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 100.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

მიუმატეთ 625 -400-ს.

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

აიღეთ 225-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±15}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -25 15-ს.

$$x=-\frac{10}{2}$$

გაყავით -10 2-ზე.

$$x=-5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-25±15}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 15 -25-ს.

$$x=-\frac{40}{2}$$

გაყავით -40 2-ზე.

$$x=-20$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-5 x=-20$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x+100=0$$

გამოაკელით 100 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

100-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+25x=-100$$

გაყავით 25, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{25}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{25}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{25}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

მიუმატეთ -100 \frac{625}{4}-ს.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+25x+\frac{625}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

გამოაკელით \frac{25}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-5 x=-20$$