გადაწყვიტეთ left(x+3right)^2+x^2=317

$${ \left(x+3 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } =317$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-14$$

$$x=11$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+3\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

გამოაკელით 317 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

გამოაკელით 317 9-ს -308-ის მისაღებად.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x^{2}+3x-154=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-154. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=1\left(-154\right)=-154$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -154.

$$-1,154 -2,77 -7,22 -11,14$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+154=153 -2+77=75 -7+22=15 -11+14=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-11 b=14$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+3x-154, როგორც \left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right)$$

x-ის პირველ, 14-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-11\right)+14\left(x-11\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-11 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-11\right)\left(x+14\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-11=0 და x+14=0.

$$x=11 x=-14$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+3\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

გამოაკელით 317 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

გამოაკელით 317 9-ს -308-ის მისაღებად.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 6-ით b და -308-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -308.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+2464}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 36 2464-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{2500}}{2\times 2}$$

აიღეთ 2500-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-6±50}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-6±50}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±50}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 50-ს.

$$x=\frac{44}{4}$$

გაყავით 44 4-ზე.

$$x=11$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-6±50}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 50 -6-ს.

$$x=-\frac{56}{4}$$

გაყავით -56 4-ზე.

$$x=-14$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=11 x=-14$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+3\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

დააჯგუფეთ x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+6x=317-9$$

გამოაკელით 9 317-ს 308-ის მისაღებად.

$$2x^{2}+6x=308$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{308}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{308}{2}$$

გაყავით 6 2-ზე.

$$x^{2}+3x=\frac{308}{2}$$

გაყავით 308 2-ზე.

$$x^{2}+3x=154$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=154+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=154+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 154 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{625}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{25}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{25}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=11 x=-14$$