გადაწყვიტეთ left(u+1right)^2=2u^2+5u+3

$${ \left( u+1 \right) }^{ 2 } =2 { u }^{ 2 } +5u+3$$

ამოხსნა u-ისთვის

$$u=-1$$

$$u=-2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(u+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

გამოაკელით 2u^{2} ორივე მხარეს.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

დააჯგუფეთ u^{2} და -2u^{2}, რათა მიიღოთ -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

გამოაკელით 5u ორივე მხარეს.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

დააჯგუფეთ 2u და -5u, რათა მიიღოთ -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

გამოაკელით 3 1-ს -2-ის მისაღებად.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -u^{2}+au+bu-2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-1 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ -u^{2}-3u-2, როგორც \left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right).

$$\left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)$$

u-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$u\left(-u-1\right)+2\left(-u-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -u-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-u-1\right)\left(u+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -u-1=0 და u+2=0.

$$u=-1 u=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(u+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

გამოაკელით 2u^{2} ორივე მხარეს.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

დააჯგუფეთ u^{2} და -2u^{2}, რათა მიიღოთ -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

გამოაკელით 5u ორივე მხარეს.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

დააჯგუფეთ 2u და -5u, რათა მიიღოთ -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

გამოაკელით 3 1-ს -2-ის მისაღებად.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -3-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე -2.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 9 -8-ს.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 1-ის კვადრატული ფესვი.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

-3-ის საპირისპიროა 3.

$$u=\frac{3±1}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$u=\frac{3±1}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება u=\frac{3±1}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 3 1-ს.

$$u=\frac{4}{-2}$$

გაყავით 4 -2-ზე.

$$u=-2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება u=\frac{3±1}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1 3-ს.

$$u=\frac{2}{-2}$$

გაყავით 2 -2-ზე.

$$u=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$u=-2 u=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(u+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

გამოაკელით 2u^{2} ორივე მხარეს.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

დააჯგუფეთ u^{2} და -2u^{2}, რათა მიიღოთ -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

გამოაკელით 5u ორივე მხარეს.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

დააჯგუფეთ 2u და -5u, რათა მიიღოთ -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$-u^{2}-3u=3-1$$

გამოაკელით 1 3-ს 2-ის მისაღებად.

$$-u^{2}-3u=2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-u^{2}-3u}{-1}=\frac{2}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$u^{2}+\left(-\frac{3}{-1}\right)u=\frac{2}{-1}$$

გაყავით -3 -1-ზე.

$$u^{2}+3u=\frac{2}{-1}$$

გაყავით 2 -1-ზე.

$$u^{2}+3u=-2$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$u^{2}+3u+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ -2 \frac{9}{4}-ს.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად u^{2}+3u+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$u+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} u+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$u=-1 u=-2$$