გადაწყვიტეთ sqrt{x+3}=sqrt{5x}-1

$$\sqrt{ x+3 } = \sqrt{ 5x } -1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{65} + 9}{8} \approx 2.132782219$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x+3} ხარისხი და მიიღეთ x+3.

$$x+3=\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x+3=\left(\sqrt{5x}\right)^{2}-2\sqrt{5x}+1$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{5x} ხარისხი და მიიღეთ 5x.

$$x+3=5x-2\sqrt{5x}+1$$

გამოაკელით 5x+1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x+3-\left(5x+1\right)=-2\sqrt{5x}$$

5x+1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x+3-5x-1=-2\sqrt{5x}$$

დააჯგუფეთ x და -5x, რათა მიიღოთ -4x.

$$-4x+3-1=-2\sqrt{5x}$$

გამოაკელით 1 3-ს 2-ის მისაღებად.

$$-4x+2=-2\sqrt{5x}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(-4x+2\right)^{2}=\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(-4x+2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$16x^{2}-16x+4=\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}.

$$16x^{2}-16x+4=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის -2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$16x^{2}-16x+4=4\left(\sqrt{5x}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{5x} ხარისხი და მიიღეთ 5x.

$$16x^{2}-16x+4=4\times 5x$$

გადაამრავლეთ 4 და 5, რათა მიიღოთ 20.

$$16x^{2}-16x+4=20x$$

გამოაკელით 20x ორივე მხარეს.

$$16x^{2}-16x+4-20x=0$$

დააჯგუფეთ -16x და -20x, რათა მიიღოთ -36x.

$$16x^{2}-36x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 16-ით a, -36-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

აიყვანეთ კვადრატში -36.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 16.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-64\times 4}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ -64-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-256}}{2\times 16}$$

მიუმატეთ 1296 -256-ს.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1040}}{2\times 16}$$

აიღეთ 1040-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{65}}{2\times 16}$$

-36-ის საპირისპიროა 36.

$$x=\frac{36±4\sqrt{65}}{2\times 16}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 16.

$$x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 36 4\sqrt{65}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{65}+36}{32}$$

გაყავით 36+4\sqrt{65} 32-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{65} 36-ს.

$$x=\frac{36-4\sqrt{65}}{32}$$

გაყავით 36-4\sqrt{65} 32-ზე.

$$x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{\sqrt{65}+9}{8}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{65}+9}{8}}-1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{9-\sqrt{65}}{8}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{9-\sqrt{65}}{8}}-1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{9-\sqrt{65}}{8} არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რადგან მარცხენა და მარჯვენა ხელის მხარეს საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.

$$-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{\sqrt{65}+9}{8}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{65}+9}{8}}-1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

განტოლებას \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1 აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8}$$