გადაწყვიტეთ sqrt{5-2x}-sqrt{x+6}=sqrt{x+3}

$$\sqrt{ 5-2x } - \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+3 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(\sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(\sqrt{5-2x}\right)^{2}-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{5-2x} ხარისხი და მიიღეთ 5-2x.

$$5-2x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x+6} ხარისხი და მიიღეთ x+6.

$$5-2x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

დააჯგუფეთ -2x და x, რათა მიიღოთ -x.

$$5-x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 5 და 6, რათა მიიღოთ 11.

$$11-x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x+3} ხარისხი და მიიღეთ x+3.

$$11-x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x+3$$

გამოაკელით 11-x განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x+3-\left(11-x\right)$$

11-x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x+3-11+x$$

გამოაკელით 11 3-ს -8-ის მისაღებად.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x-8+x$$

დააჯგუფეთ x და x, რათა მიიღოთ 2x.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=2x-8$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5-2x}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის -2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4\left(\sqrt{5-2x}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{5-2x} ხარისხი და მიიღეთ 5-2x.

$$4\left(5-2x\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x+6} ხარისხი და მიიღეთ x+6.

$$4\left(5-2x\right)\left(x+6\right)=\left(2x-8\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 5-2x-ზე.

$$\left(20-8x\right)\left(x+6\right)=\left(2x-8\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუტულობის თვისება და გაამრავლეთ 20-8x-ის თითოეული წევრი x+6-ის თითოეულ წევრზე.

$$20x+120-8x^{2}-48x=\left(2x-8\right)^{2}$$

დააჯგუფეთ 20x და -48x, რათა მიიღოთ -28x.

$$-28x+120-8x^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x-8\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$-28x+120-8x^{2}=4x^{2}-32x+64$$

გამოაკელით 4x^{2} ორივე მხარეს.

$$-28x+120-8x^{2}-4x^{2}=-32x+64$$

დააჯგუფეთ -8x^{2} და -4x^{2}, რათა მიიღოთ -12x^{2}.

$$-28x+120-12x^{2}=-32x+64$$

დაამატეთ 32x ორივე მხარეს.

$$-28x+120-12x^{2}+32x=64$$

დააჯგუფეთ -28x და 32x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+120-12x^{2}=64$$

გამოაკელით 64 ორივე მხარეს.

$$4x+120-12x^{2}-64=0$$

გამოაკელით 64 120-ს 56-ის მისაღებად.

$$4x+56-12x^{2}=0$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x+14-3x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-3x^{2}+x+14=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -3x^{2}+ax+bx+14. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=-3\times 14=-42$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=7 b=-6$$

ხელახლა დაწერეთ -3x^{2}+x+14, როგორც \left(-3x^{2}+7x\right)+\left(-6x+14\right).

$$\left(-3x^{2}+7x\right)+\left(-6x+14\right)$$

-x-ის პირველ, -2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(3x-7\right)-2\left(3x-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-7\right)\left(-x-2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-7=0 და -x-2=0.

$$x=\frac{7}{3} x=-2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{3}-ით x განტოლებაში, \sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}=\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{5-2\times \frac{7}{3}}-\sqrt{\frac{7}{3}+6}=\sqrt{\frac{7}{3}+3}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{7}{3} არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რადგან მარცხენა და მარჯვენა ხელის მხარეს საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.

$$-\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით x განტოლებაში, \sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}=\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{5-2\left(-2\right)}-\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+3}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=-2 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$1=1$$

განტოლებას -\sqrt{x+6}+\sqrt{5-2x}=\sqrt{x+3} აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=-2$$