გადაწყვიტეთ sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

2-ისა და 4-ის უმცირესი საერთო მამრავლი არის 4. გადაიყვანეთ \frac{1}{2} და \frac{1}{4} წილადებად, რომელთა მნიშვნელია 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

რადგან \frac{2}{4}-სა და \frac{1}{4}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

შეკრიბეთ 2 და 1, რათა მიიღოთ 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

4-ისა და 8-ის უმცირესი საერთო მამრავლი არის 8. გადაიყვანეთ \frac{3}{4} და \frac{1}{8} წილადებად, რომელთა მნიშვნელია 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

რადგან \frac{6}{8}-სა და \frac{1}{8}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

შეკრიბეთ 6 და 1, რათა მიიღოთ 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

8-ისა და 16-ის უმცირესი საერთო მამრავლი არის 16. გადაიყვანეთ \frac{7}{8} და \frac{1}{16} წილადებად, რომელთა მნიშვნელია 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

რადგან \frac{14}{16}-სა და \frac{1}{16}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

შეკრიბეთ 14 და 1, რათა მიიღოთ 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} ხარისხი და მიიღეთ \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, \frac{1}{2}-ით b და \frac{15}{16}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} \frac{15}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 4-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -\frac{1}{2} 2-ს.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

გაყავით \frac{3}{2} -2-ზე.

$$x=-\frac{3}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2 -\frac{1}{2}-ს.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

გაყავით -\frac{5}{2} -2-ზე.

$$x=\frac{5}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{4}-ით x განტოლებაში, \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=-\frac{3}{4} არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რადგან მარცხენა და მარჯვენა ხელის მხარეს საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{4}-ით x განტოლებაში, \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{5}{4} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

განტოლებას \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=\frac{5}{4}$$