გადაწყვიტეთ sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2.111111111-2.514157444i$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x-1} ხარისხი და მიიღეთ x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

შეკრიბეთ -1 და 4, რათა მიიღოთ 3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x+3} ხარისხი და მიიღეთ x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+3-ზე.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

გამოაკელით x+3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

x+3-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

დააჯგუფეთ 4x და -x, რათა მიიღოთ 3x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

გამოაკელით 3 12-ს 9-ის მისაღებად.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის -4 ხარისხი და მიიღეთ 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x-1} ხარისხი და მიიღეთ x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 16 x-1-ზე.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3x+9\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

გამოაკელით 9x^{2} ორივე მხარეს.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

გამოაკელით 54x ორივე მხარეს.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

დააჯგუფეთ 16x და -54x, რათა მიიღოთ -38x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

გამოაკელით 81 ორივე მხარეს.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

გამოაკელით 81 -16-ს -97-ის მისაღებად.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -9-ით a, -38-ით b და -97-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ 36-ზე -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

მიუმატეთ 1444 -3492-ს.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

აიღეთ -2048-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

-38-ის საპირისპიროა 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 38 32i\sqrt{2}-ს.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

გაყავით 38+32i\sqrt{2} -18-ზე.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 32i\sqrt{2} 38-ს.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

გაყავით 38-32i\sqrt{2} -18-ზე.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} არ აკმაყოფოლებს განტოლებას.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

განტოლებას \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$