გადაწყვიტეთ sqrt{x-1}=x

$$\sqrt { x - 1 } = x$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0.5+0.866025404i$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=x^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x-1} ხარისხი და მიიღეთ x-1.

$$x-1=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x-1-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 1-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 1 -4-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ -3-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 i\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{-2}$$

გაყავით -1+i\sqrt{3} -2-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{3} -1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{-2}$$

გაყავით -1-i\sqrt{3} -2-ზე.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-1}=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} არ აკმაყოფოლებს განტოლებას.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1+\sqrt{3}i}{2}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

განტოლებას \sqrt{x-1}=x აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$