გადაწყვიტეთ sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x^{2}-1} ხარისხი და მიიღეთ x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{2x+1} ხარისხი და მიიღეთ 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$x^{2}-1-2x=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

გამოაკელით 1 -1-ს -2-ის მისაღებად.

$$x^{2}-2-2x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-2x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -2-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

მიუმატეთ 4 8-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

აიღეთ 12-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

გაყავით 2+2\sqrt{3} 2-ზე.

$$x=\sqrt{3}+1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{3} 2-ს.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

გაყავით 2-2\sqrt{3} 2-ზე.

$$x=1-\sqrt{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

ჩაანაცვლეთ \sqrt{3}+1-ით x განტოლებაში, \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\sqrt{3}+1 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

ჩაანაცვლეთ 1-\sqrt{3}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=1-\sqrt{3} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

ჩამოთვალეთ \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}-ის ამოხსნები.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x^{2}-1} ხარისხი და მიიღეთ x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{2x+1} ხარისხი და მიიღეთ 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$x^{2}-1-2x=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

გამოაკელით 1 -1-ს -2-ის მისაღებად.

$$x^{2}-2-2x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-2x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -2-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

მიუმატეთ 4 8-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

აიღეთ 12-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

გაყავით 2+2\sqrt{3} 2-ზე.

$$x=\sqrt{3}+1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{3} 2-ს.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

გაყავით 2-2\sqrt{3} 2-ზე.

$$x=1-\sqrt{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

ჩაანაცვლეთ \sqrt{3}+1-ით x განტოლებაში, \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\sqrt{3}+1 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

ჩაანაცვლეთ 1-\sqrt{3}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} გამოსახვა არ არის განსაზღვრული, რადგან ფესვური სიდიდე არ უნდა იყოს უარყოფითი.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

განტოლებას \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=\sqrt{3}+1$$