გადაწყვიტეთ sqrt{x+5}-sqrt{3x-2}=1

$$\sqrt { x + 5 } - \sqrt { 3 x - 2 } = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{9 - \sqrt{37}}{2} \approx 1.458618735$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოაკელით -\sqrt{3x-2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\sqrt{x+5}=1+\sqrt{3x-2}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x+5} ხარისხი და მიიღეთ x+5.

$$x+5=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x+5=1+2\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{3x-2} ხარისხი და მიიღეთ 3x-2.

$$x+5=1+2\sqrt{3x-2}+3x-2$$

გამოაკელით 2 1-ს -1-ის მისაღებად.

$$x+5=-1+2\sqrt{3x-2}+3x$$

გამოაკელით -1+3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$x+5-\left(-1+3x\right)=2\sqrt{3x-2}$$

-1+3x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x+5+1-3x=2\sqrt{3x-2}$$

შეკრიბეთ 5 და 1, რათა მიიღოთ 6.

$$x+6-3x=2\sqrt{3x-2}$$

დააჯგუფეთ x და -3x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x+6=2\sqrt{3x-2}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(-2x+6\right)^{2}=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(-2x+6\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4x^{2}-24x+36=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=2^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{3x-2} ხარისხი და მიიღეთ 3x-2.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(3x-2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 3x-2-ზე.

$$4x^{2}-24x+36=12x-8$$

გამოაკელით 12x ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-24x+36-12x=-8$$

დააჯგუფეთ -24x და -12x, რათა მიიღოთ -36x.

$$4x^{2}-36x+36=-8$$

დაამატეთ 8 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-36x+36+8=0$$

შეკრიბეთ 36 და 8, რათა მიიღოთ 44.

$$4x^{2}-36x+44=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -36-ით b და 44-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 4\times 44}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -36.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 4\times 44}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-16\times 44}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 44.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-704}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 1296 -704-ს.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{592}}{2\times 4}$$

აიღეთ 592-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{37}}{2\times 4}$$

-36-ის საპირისპიროა 36.

$$x=\frac{36±4\sqrt{37}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 36 4\sqrt{37}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{37}+36}{8}$$

გაყავით 36+4\sqrt{37} 8-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{37} 36-ს.

$$x=\frac{36-4\sqrt{37}}{8}$$

გაყავით 36-4\sqrt{37} 8-ზე.

$$x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{\sqrt{37}+9}{2}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x+5}-\sqrt{3x-2}=1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{37}+9}{2}+5}-\sqrt{3\times \frac{\sqrt{37}+9}{2}-2}=1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{\sqrt{37}+9}{2} არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რადგან მარცხენა და მარჯვენა ხელის მხარეს საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.

$$-1=1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{9-\sqrt{37}}{2}-ით x განტოლებაში, \sqrt{x+5}-\sqrt{3x-2}=1.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{37}}{2}+5}-\sqrt{3\times \frac{9-\sqrt{37}}{2}-2}=1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{9-\sqrt{37}}{2} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$1=1$$

განტოლებას \sqrt{x+5}=\sqrt{3x-2}+1 აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$