გადაწყვიტეთ sqrt{x+3}-sqrt{3x-2}=1

$$\sqrt { x + 3 } - \sqrt { 3 x - 2 } = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=1$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოაკელით -\sqrt{3x-2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\sqrt{x+3}=1+\sqrt{3x-2}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x+3} ხარისხი და მიიღეთ x+3.

$$x+3=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x+3=1+2\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{3x-2} ხარისხი და მიიღეთ 3x-2.

$$x+3=1+2\sqrt{3x-2}+3x-2$$

გამოაკელით 2 1-ს -1-ის მისაღებად.

$$x+3=-1+2\sqrt{3x-2}+3x$$

გამოაკელით -1+3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$x+3-\left(-1+3x\right)=2\sqrt{3x-2}$$

-1+3x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x+3+1-3x=2\sqrt{3x-2}$$

შეკრიბეთ 3 და 1, რათა მიიღოთ 4.

$$x+4-3x=2\sqrt{3x-2}$$

დააჯგუფეთ x და -3x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x+4=2\sqrt{3x-2}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(-2x+4\right)^{2}=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(-2x+4\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4x^{2}-16x+16=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=2^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{3x-2} ხარისხი და მიიღეთ 3x-2.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(3x-2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 3x-2-ზე.

$$4x^{2}-16x+16=12x-8$$

გამოაკელით 12x ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-16x+16-12x=-8$$

დააჯგუფეთ -16x და -12x, რათა მიიღოთ -28x.

$$4x^{2}-28x+16=-8$$

დაამატეთ 8 ორივე მხარეს.

$$4x^{2}-28x+16+8=0$$

შეკრიბეთ 16 და 8, რათა მიიღოთ 24.

$$4x^{2}-28x+24=0$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x^{2}-7x+6=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+6. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-7 ab=1\times 6=6$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -7.

$$a=-6 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-7x+6, როგორც \left(x^{2}-6x\right)+\left(-x+6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-x+6\right)$$

x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-6\right)-\left(x-6\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-6 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-6\right)\left(x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-6=0 და x-1=0.

$$x=6 x=1$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით x განტოლებაში, \sqrt{x+3}-\sqrt{3x-2}=1.

$$\sqrt{6+3}-\sqrt{3\times 6-2}=1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=6 არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რადგან მარცხენა და მარჯვენა ხელის მხარეს საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.

$$-1=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x განტოლებაში, \sqrt{x+3}-\sqrt{3x-2}=1.

$$\sqrt{1+3}-\sqrt{3\times 1-2}=1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=1 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$1=1$$

განტოლებას \sqrt{x+3}=\sqrt{3x-2}+1 აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=1$$