გადაწყვიტეთ sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=2$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{7x+67} ხარისხი და მიიღეთ 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x+5\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

გამოაკელით 4x^{2} ორივე მხარეს.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

გამოაკელით 20x ორივე მხარეს.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

დააჯგუფეთ 7x და -20x, რათა მიიღოთ -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

გამოაკელით 25 ორივე მხარეს.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

გამოაკელით 25 67-ს 42-ის მისაღებად.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -4x^{2}+ax+bx+42. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -13.

$$a=8 b=-21$$

ხელახლა დაწერეთ -4x^{2}-13x+42, როგორც \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

4x-ის პირველ, 21-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+2=0 და 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x განტოლებაში, \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=2 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$9=9$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{21}{4}-ით x განტოლებაში, \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=-\frac{21}{4} არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რადგან მარცხენა და მარჯვენა ხელის მხარეს საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

განტოლებას \sqrt{7x+67}=2x+5 აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=2$$