გადაწყვიტეთ sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=2$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{5x-1} ხარისხი და მიიღეთ 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{3x-2} ხარისხი და მიიღეთ 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

დააჯგუფეთ 5x და 3x, რათა მიიღოთ 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

გამოაკელით 2 -1-ს -3-ის მისაღებად.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x-1} ხარისხი და მიიღეთ x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

გამოაკელით 8x-3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

8x-3-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

დააჯგუფეთ x და -8x, რათა მიიღოთ -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

შეკრიბეთ -1 და 3, რათა მიიღოთ 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის -2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{5x-1} ხარისხი და მიიღეთ 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{3x-2} ხარისხი და მიიღეთ 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 5x-1-ზე.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუტულობის თვისება და გაამრავლეთ 20x-4-ის თითოეული წევრი 3x-2-ის თითოეულ წევრზე.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

დააჯგუფეთ -40x და -12x, რათა მიიღოთ -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(-7x+2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

გამოაკელით 49x^{2} ორივე მხარეს.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

დააჯგუფეთ 60x^{2} და -49x^{2}, რათა მიიღოთ 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

დაამატეთ 28x ორივე მხარეს.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

დააჯგუფეთ -52x და 28x, რათა მიიღოთ -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

გამოაკელით 4 8-ს 4-ის მისაღებად.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 11x^{2}+ax+bx+4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -24.

$$a=-22 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ 11x^{2}-24x+4, როგორც \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

11x-ის პირველ, -2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-2=0 და 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{11}-ით x განტოლებაში, \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} გამოსახვა არ არის განსაზღვრული, რადგან ფესვური სიდიდე არ უნდა იყოს უარყოფითი.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x განტოლებაში, \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=2 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$1=1$$

განტოლებას \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=2$$