გადაწყვიტეთ sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოაკელით -\sqrt{15+x^{2}} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{25-x^{2}} ხარისხი და მიიღეთ 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{15+x^{2}} ხარისხი და მიიღეთ 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

შეკრიბეთ 16 და 15, რათა მიიღოთ 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

გამოაკელით 31+x^{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

31+x^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

გამოაკელით 31 25-ს -6-ის მისაღებად.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

დააჯგუფეთ -x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(-6-2x^{2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

რიცხვის ხარისხის სხვა ხარისხში ასაყვანად, გადაამრავლეთ ექსპონენტები. გადაამრავლეთ 2 და 2 რომ მიიღოთ 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 8 ხარისხი და მიიღეთ 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{15+x^{2}} ხარისხი და მიიღეთ 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 64 15+x^{2}-ზე.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

გამოაკელით 960 ორივე მხარეს.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

გამოაკელით 960 36-ს -924-ის მისაღებად.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

გამოაკელით 64x^{2} ორივე მხარეს.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

დააჯგუფეთ 24x^{2} და -64x^{2}, რათა მიიღოთ -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

ჩაანაცვლეთ t-ით x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 4 a-თვის, -40 b-თვის და -924 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

ამოხსენით განტოლება t=\frac{40±128}{8}, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$t=21 t=-11$$

რადგან x=t^{2}, ამონახსნები მიიღება x=±\sqrt{t}-ის შეფასებით ყოველი t-თვის.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

ჩაანაცვლეთ -\sqrt{21}-ით x განტოლებაში, \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=-\sqrt{21} არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რადგან მარცხენა და მარჯვენა ხელის მხარეს საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.

$$-4=4$$

ჩაანაცვლეთ \sqrt{21}-ით x განტოლებაში, \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\sqrt{21} არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რადგან მარცხენა და მარჯვენა ხელის მხარეს საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.

$$-4=4$$

ჩაანაცვლეთ -\sqrt{11}i-ით x განტოლებაში, \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=-\sqrt{11}i აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$4=4$$

ჩაანაცვლეთ \sqrt{11}i-ით x განტოლებაში, \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\sqrt{11}i აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$4=4$$

ჩამოთვალეთ \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4-ის ამოხსნები.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$