გადაწყვიტეთ sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{2-x} ხარისხი და მიიღეთ 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

დააჯგუფეთ -x და 2x, რათა მიიღოთ x.

$$2+x-x^{2}=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

გამოაკელით 1 2-ს 1-ის მისაღებად.

$$1+x-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 1-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 1 4-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 \sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

გაყავით -1+\sqrt{5} -2-ზე.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{5} -1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

გაყავით -1-\sqrt{5} -2-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1-\sqrt{5}}{2}-ით x განტოლებაში, \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რადგან მარცხენა და მარჯვენა ხელის მხარეს საწინააღმდეგო ნიშნები აქვთ.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{\sqrt{5}+1}{2}-ით x განტოლებაში, \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

განტოლებას \sqrt{2-x}=x-1 აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$