გადაწყვიტეთ sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=y+2$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(7-x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(1-y\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 49 და 1, რათა მიიღოთ 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} ხარისხი და მიიღეთ 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3-x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(5-y\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 9 და 25, რათა მიიღოთ 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} ხარისხი და მიიღეთ 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

დაამატეთ 6x ორივე მხარეს.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

დააჯგუფეთ -14x და 6x, რათა მიიღოთ -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

გამოაკელით 50 ორივე მხარეს.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

გამოაკელით 50 34-ს -16-ის მისაღებად.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

დაამატეთ 2y ორივე მხარეს.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

დააჯგუფეთ -10y და 2y, რათა მიიღოთ -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

გამოაკელით y^{2} ორივე მხარეს.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

დააჯგუფეთ y^{2} და -y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$-8x=-16-8y$$

განტოლება სტანდარტული ფორმისაა.

$$-8x=-8y-16$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

-8-ზე გაყოფა აუქმებს -8-ზე გამრავლებას.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

გაყავით -16-8y -8-ზე.

$$x=y+2$$

ჩაანაცვლეთ y+2-ით x განტოლებაში, \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=y+2 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

განტოლებას \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=y+2$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=x-2$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(7-x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(1-y\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 49 და 1, რათა მიიღოთ 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} ხარისხი და მიიღეთ 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(3-x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(5-y\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 9 და 25, რათა მიიღოთ 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} ხარისხი და მიიღეთ 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

დაამატეთ 10y ორივე მხარეს.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

დააჯგუფეთ -2y და 10y, რათა მიიღოთ 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

გამოაკელით y^{2} ორივე მხარეს.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

დააჯგუფეთ y^{2} და -y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

გამოაკელით 50 ორივე მხარეს.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

გამოაკელით 50 34-ს -16-ის მისაღებად.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

დაამატეთ 14x ორივე მხარეს.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

დააჯგუფეთ -6x და 14x, რათა მიიღოთ 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$8y=-16+8x$$

განტოლება სტანდარტული ფორმისაა.

$$8y=8x-16$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

8-ზე გაყოფა აუქმებს 8-ზე გამრავლებას.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

გაყავით -16+8x 8-ზე.

$$y=x-2$$

ჩაანაცვლეთ x-2-ით y განტოლებაში, \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე y=x-2 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

განტოლებას \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$y=x-2$$