გადაწყვიტეთ pix^2+3x+0.1415926=0

$$\pi { x }^{ 2 } +3x+0.1415926=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{-\frac{707963\pi }{1250000}+9}-3}{2\pi }\approx -0.049793999$$

$$x=-\frac{\sqrt{-\frac{707963\pi }{1250000}+9}+3}{2\pi }\approx -0.905135659$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$\pi x^{2}+3x+0.1415926=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ \pi -ით a, 3-ით b და 0.1415926-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\pi \times 0.1415926}}{2\pi }$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\pi \times 0.1415926}}{2\pi }$$

გაამრავლეთ -4-ზე \pi .

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\left(-4\pi \right)\times 0.1415926}}{2\pi }$$

გაამრავლეთ -4\pi -ზე 0.1415926.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-\frac{707963\pi }{1250000}}}{2\pi }$$

მიუმატეთ 9 -\frac{707963\pi }{1250000}-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-\frac{707963\pi }{1250000}+9}}{2\pi }$$

აიღეთ 9-\frac{707963\pi }{1250000}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}}{2\pi }$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}}{2\pi } როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 \frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}-ს.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}-3}{2\pi }$$

გაყავით -3+\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500} 2\pi -ზე.

$$x=\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }-7500}{5000\pi }$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}}{2\pi } როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500} -3-ს.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}-3}{2\pi }$$

გაყავით -3-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500} 2\pi -ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }+7500}{5000\pi }$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }-7500}{5000\pi } x=-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }+7500}{5000\pi }$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$\pi x^{2}+3x+0.1415926=0$$

გამოაკელით 0.1415926 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\pi x^{2}+3x+0.1415926-0.1415926=-0.1415926$$

0.1415926-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$\pi x^{2}+3x=-0.1415926$$

ორივე მხარე გაყავით \pi -ზე.

$$\frac{\pi x^{2}+3x}{\pi }=-\frac{0.1415926}{\pi }$$

\pi -ზე გაყოფა აუქმებს \pi -ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{\pi }x=-\frac{0.1415926}{\pi }$$

გაყავით -0.1415926 \pi -ზე.

$$x^{2}+\frac{3}{\pi }x=-\frac{707963}{5000000\pi }$$

გაყავით \frac{3}{\pi }, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2\pi }-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2\pi }-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{\pi }x+\left(\frac{3}{2\pi }\right)^{2}=-\frac{707963}{5000000\pi }+\left(\frac{3}{2\pi }\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2\pi }.

$$x^{2}+\frac{3}{\pi }x+\frac{9}{4\pi ^{2}}=-\frac{707963}{5000000\pi }+\frac{9}{4\pi ^{2}}$$

მიუმატეთ -\frac{707963}{5000000\pi } \frac{9}{4\pi ^{2}}-ს.

$$x^{2}+\frac{3}{\pi }x+\frac{9}{4\pi ^{2}}=\frac{-\frac{707963\pi }{5000000}+\frac{9}{4}}{\pi ^{2}}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{\pi }x+\frac{9}{4\pi ^{2}}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2\pi }\right)^{2}=\frac{-\frac{707963\pi }{5000000}+\frac{9}{4}}{\pi ^{2}}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2\pi }\right)^{2}}=\sqrt{\frac{-\frac{707963\pi }{5000000}+\frac{9}{4}}{\pi ^{2}}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2\pi }=\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{5000\pi } x+\frac{3}{2\pi }=-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{5000\pi }$$

გამოაკელით \frac{3}{2\pi } განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }-7500}{5000\pi } x=-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }+7500}{5000\pi }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{5\left(11250000-707963\pi \right)}-7500}{5000\pi }\approx -0.049793999$$

$$x=-\frac{\sqrt{5\left(11250000-707963\pi \right)}+7500}{5000\pi }\approx -0.905135659$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$\pi x^{2}+3x+0.1415926=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ \pi -ით a, 3-ით b და 0.1415926-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\pi \times 0.1415926}}{2\pi }$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\pi \times 0.1415926}}{2\pi }$$

გაამრავლეთ -4-ზე \pi .

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\left(-4\pi \right)\times 0.1415926}}{2\pi }$$

გაამრავლეთ -4\pi -ზე 0.1415926.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-\frac{707963\pi }{1250000}}}{2\pi }$$

მიუმატეთ 9 -\frac{707963\pi }{1250000}-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-\frac{707963\pi }{1250000}+9}}{2\pi }$$

აიღეთ 9-\frac{707963\pi }{1250000}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}}{2\pi }$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}}{2\pi } როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 \frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}-ს.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}-3}{2\pi }$$

გაყავით -3+\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500} 2\pi -ზე.

$$x=\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }-7500}{5000\pi }$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}}{2\pi } როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500} -3-ს.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500}-3}{2\pi }$$

გაყავით -3-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{2500} 2\pi -ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }+7500}{5000\pi }$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }-7500}{5000\pi } x=-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }+7500}{5000\pi }$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$\pi x^{2}+3x+0.1415926=0$$

გამოაკელით 0.1415926 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\pi x^{2}+3x+0.1415926-0.1415926=-0.1415926$$

0.1415926-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$\pi x^{2}+3x=-0.1415926$$

ორივე მხარე გაყავით \pi -ზე.

$$\frac{\pi x^{2}+3x}{\pi }=-\frac{0.1415926}{\pi }$$

\pi -ზე გაყოფა აუქმებს \pi -ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{\pi }x=-\frac{0.1415926}{\pi }$$

გაყავით -0.1415926 \pi -ზე.

$$x^{2}+\frac{3}{\pi }x=-\frac{707963}{5000000\pi }$$

გაყავით \frac{3}{\pi }, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2\pi }-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2\pi }-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{\pi }x+\left(\frac{3}{2\pi }\right)^{2}=-\frac{707963}{5000000\pi }+\left(\frac{3}{2\pi }\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2\pi }.

$$x^{2}+\frac{3}{\pi }x+\frac{9}{4\pi ^{2}}=-\frac{707963}{5000000\pi }+\frac{9}{4\pi ^{2}}$$

მიუმატეთ -\frac{707963}{5000000\pi } \frac{9}{4\pi ^{2}}-ს.

$$x^{2}+\frac{3}{\pi }x+\frac{9}{4\pi ^{2}}=\frac{-\frac{707963\pi }{5000000}+\frac{9}{4}}{\pi ^{2}}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{\pi }x+\frac{9}{4\pi ^{2}}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2\pi }\right)^{2}=\frac{-\frac{707963\pi }{5000000}+\frac{9}{4}}{\pi ^{2}}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2\pi }\right)^{2}}=\sqrt{\frac{-\frac{707963\pi }{5000000}+\frac{9}{4}}{\pi ^{2}}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2\pi }=\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{5000\pi } x+\frac{3}{2\pi }=-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }}{5000\pi }$$

გამოაკელით \frac{3}{2\pi } განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }-7500}{5000\pi } x=-\frac{\sqrt{56250000-3539815\pi }+7500}{5000\pi }$$