გადაწყვიტეთ {r}{80=a+5*b}{a+b=49}

$$\left.\begin{array} { r } { 80 = a + 5 \cdot b } \\ { a + b = 49 } \end{array} \right\}$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a = \frac{165}{4} = 41\frac{1}{4} = 41.25$$

$$b = \frac{31}{4} = 7\frac{3}{4} = 7.75$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$a+5b=80$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$a+5b=80,a+b=49$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$a+5b=80$$

გამოაკელით 5b განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=-5b+80$$

ჩაანაცვლეთ -5b+80-ით a მეორე განტოლებაში, a+b=49.

$$-5b+80+b=49$$

მიუმატეთ -5b b-ს.

$$-4b+80=49$$

გამოაკელით 80 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4b=-31$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$b=\frac{31}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{31}{4}-ით b აქ: a=-5b+80. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-5\times \frac{31}{4}+80$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{31}{4}.

$$a=-\frac{155}{4}+80$$

მიუმატეთ 80 -\frac{155}{4}-ს.

$$a=\frac{165}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{165}{4},b=\frac{31}{4}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$a+5b=80$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$a+5b=80,a+b=49$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-5}&-\frac{5}{1-5}\\-\frac{1}{1-5}&\frac{1}{1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 80+\frac{5}{4}\times 49\\\frac{1}{4}\times 80-\frac{1}{4}\times 49\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{165}{4}\\\frac{31}{4}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{165}{4},b=\frac{31}{4}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$a+5b=80$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$a+5b=80,a+b=49$$

გამოაკელით a+b=49 a+5b=80-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$a-a+5b-b=80-49$$

მიუმატეთ a -a-ს. პირობები a და -a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5b-b=80-49$$

მიუმატეთ 5b -b-ს.

$$4b=80-49$$

მიუმატეთ 80 -49-ს.

$$4b=31$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$b=\frac{31}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{31}{4}-ით b აქ: a+b=49. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a+\frac{31}{4}=49$$

გამოაკელით \frac{31}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=\frac{165}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{165}{4},b=\frac{31}{4}$$