გადაწყვიტეთ {l}{5x-2y=12}{2x+y=13}

$$\left.\begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 12 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right\}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

$$y = \frac{41}{9} = 4\frac{5}{9} \approx 4.555555556$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-2y=12,2x+y=13$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-2y=12$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=2y+12$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 12+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{12+2y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+y=13.

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}\right)+y=13$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{12+2y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{24}{5}+y=13$$

მიუმატეთ \frac{4y}{5} y-ს.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}=13$$

გამოაკელით \frac{24}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{9}{5}y=\frac{41}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{9}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{41}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{41}{9}-ით y აქ: x=\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{41}{9}+\frac{12}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{5}-ზე \frac{41}{9} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{82}{45}+\frac{12}{5}$$

მიუმატეთ \frac{12}{5} \frac{82}{45}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{38}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{38}{9},y=\frac{41}{9}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-2y=12,2x+y=13$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-2\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 12+\frac{2}{9}\times 13\\-\frac{2}{9}\times 12+\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{9}\\\frac{41}{9}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{38}{9},y=\frac{41}{9}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-2y=12,2x+y=13$$

იმისათვის, რომ 5x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 12,5\times 2x+5y=5\times 13$$

გაამარტივეთ.

$$10x-4y=24,10x+5y=65$$

გამოაკელით 10x+5y=65 10x-4y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10x-10x-4y-5y=24-65$$

მიუმატეთ 10x -10x-ს. პირობები 10x და -10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4y-5y=24-65$$

მიუმატეთ -4y -5y-ს.

$$-9y=24-65$$

მიუმატეთ 24 -65-ს.

$$-9y=-41$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$y=\frac{41}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{41}{9}-ით y აქ: 2x+y=13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+\frac{41}{9}=13$$

გამოაკელით \frac{41}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{76}{9}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{38}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{38}{9},y=\frac{41}{9}$$