გადაწყვიტეთ {l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+2y-ზე.

$$4x+8y-x=-y$$

დააჯგუფეთ 4x და -x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x+8y=-y$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$3x+8y+y=0$$

დააჯგუფეთ 8y და y, რათა მიიღოთ 9y.

$$3x+9y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-3x-2y=-4-x$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$-3x-2y+x=-4$$

დააჯგუფეთ -3x და x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2y=-4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+9y=0$$

გამოაკელით 9y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-9y$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -9y.

$$x=-3y$$

ჩაანაცვლეთ -3y-ით x მეორე განტოლებაში, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

გაამრავლეთ -2-ზე -3y.

$$6y-2y=-4$$

მიუმატეთ 6y -2y-ს.

$$4y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=-3y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3\left(-1\right)$$

გაამრავლეთ -3-ზე -1.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+2y-ზე.

$$4x+8y-x=-y$$

დააჯგუფეთ 4x და -x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x+8y=-y$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$3x+8y+y=0$$

დააჯგუფეთ 8y და y, რათა მიიღოთ 9y.

$$3x+9y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-3x-2y=-4-x$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$-3x-2y+x=-4$$

დააჯგუფეთ -3x და x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2y=-4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+2y-ზე.

$$4x+8y-x=-y$$

დააჯგუფეთ 4x და -x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x+8y=-y$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$3x+8y+y=0$$

დააჯგუფეთ 8y და y, რათა მიიღოთ 9y.

$$3x+9y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-3x-2y=-4-x$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$-3x-2y+x=-4$$

დააჯგუფეთ -3x და x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2y=-4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

იმისათვის, რომ 3x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

გამოაკელით -6x-6y=-12 -6x-18y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

მიუმატეთ -6x 6x-ს. პირობები -6x და 6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-18y+6y=12$$

მიუმატეთ -18y 6y-ს.

$$-12y=12$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: -2x-2y=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

გაამრავლეთ -2-ზე -1.

$$-2x+2=-4$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-1$$