გადაწყვიტეთ {l}{-(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { - ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-2$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. x+2y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-x-2y-x=-y$$

დააჯგუფეთ -x და -x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2y=-y$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$-2x-2y+y=0$$

დააჯგუფეთ -2y და y, რათა მიიღოთ -y.

$$-2x-y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-3x-2y=-4-x$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$-3x-2y+x=-4$$

დააჯგუფეთ -3x და x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2y=-4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x-y=0$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=y$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=-4$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{y}{2}.

$$y-2y=-4$$

მიუმატეთ y -2y-ს.

$$-y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 4.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. x+2y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-x-2y-x=-y$$

დააჯგუფეთ -x და -x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2y=-y$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$-2x-2y+y=0$$

დააჯგუფეთ -2y და y, რათა მიიღოთ -y.

$$-2x-y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-3x-2y=-4-x$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$-3x-2y+x=-4$$

დააჯგუფეთ -3x და x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2y=-4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-4\right)\\-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-2,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. x+2y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-x-2y-x=-y$$

დააჯგუფეთ -x და -x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2y=-y$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$-2x-2y+y=0$$

დააჯგუფეთ -2y და y, რათა მიიღოთ -y.

$$-2x-y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-3x-2y=-4-x$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$-3x-2y+x=-4$$

დააჯგუფეთ -3x და x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2y=-4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

გამოაკელით -2x-2y=-4 -2x-y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x-y+2y=4$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y+2y=4$$

მიუმატეთ -y 2y-ს.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: -2x-2y=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x-2\times 4=-4$$

გაამრავლეთ -2-ზე 4.

$$-2x-8=-4$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=4$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=4$$