გადაწყვიტეთ {c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=2$$

$$y=-8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$27+4y=-4x+3$$

დაამატეთ 4x ორივე მხარეს.

$$27+4y+4x=3$$

გამოაკელით 27 ორივე მხარეს.

$$4y+4x=3-27$$

გამოაკელით 27 3-ს -24-ის მისაღებად.

$$4y+4x=-24$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$8x+3y=-8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4y+4x=-24$$

გამოაკელით 4x განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=-4x-24$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -4x-24.

$$y=-x-6$$

ჩაანაცვლეთ -x-6-ით y მეორე განტოლებაში, 3y+8x=-8.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

გაამრავლეთ 3-ზე -x-6.

$$-3x-18+8x=-8$$

მიუმატეთ -3x 8x-ს.

$$5x-18=-8$$

მიუმატეთ 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: y=-x-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-2-6$$

მიუმატეთ -6 -2-ს.

$$y=-8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-8,x=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$27+4y=-4x+3$$

დაამატეთ 4x ორივე მხარეს.

$$27+4y+4x=3$$

გამოაკელით 27 ორივე მხარეს.

$$4y+4x=3-27$$

გამოაკელით 27 3-ს -24-ის მისაღებად.

$$4y+4x=-24$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$8x+3y=-8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-8,x=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$27+4y=-4x+3$$

დაამატეთ 4x ორივე მხარეს.

$$27+4y+4x=3$$

გამოაკელით 27 ორივე მხარეს.

$$4y+4x=3-27$$

გამოაკელით 27 3-ს -24-ის მისაღებად.

$$4y+4x=-24$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$8x+3y=-8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

იმისათვის, რომ 4y და 3y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

გაამარტივეთ.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

გამოაკელით 12y+32x=-32 12y+12x=-72-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

მიუმატეთ 12y -12y-ს. პირობები 12y და -12y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12x-32x=-72+32$$

მიუმატეთ 12x -32x-ს.

$$-20x=-72+32$$

მიუმატეთ -72 32-ს.

$$-20x=-40$$

ორივე მხარე გაყავით -20-ზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: 3y+8x=-8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$3y+8\times 2=-8$$

გაამრავლეთ 8-ზე 2.

$$3y+16=-8$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=-24$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=-8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-8,x=2$$