გადაწყვიტეთ {l}{x-2y=6}{x=10y-2}

$$\left. \begin{array}{l}{ x - 2 y = 6 }\\{ x = 10 y - 2 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=8$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 10y ორივე მხარეს.

$$x-10y=-2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-2y=6$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2y+6$$

ჩაანაცვლეთ 6+2y-ით x მეორე განტოლებაში, x-10y=-2.

$$2y+6-10y=-2$$

მიუმატეთ 2y -10y-ს.

$$-8y+6=-2$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8y=-8$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=2y+6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=2+6$$

მიუმატეთ 6 2-ს.

$$x=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=8,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 10y ორივე მხარეს.

$$x-10y=-2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-10-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-10-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-10-\left(-2\right)}&\frac{1}{-10-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 6-\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{1}{8}\times 6-\frac{1}{8}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=8,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 10y ორივე მხარეს.

$$x-10y=-2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

გამოაკელით x-10y=-2 x-2y=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-x-2y+10y=6+2$$

მიუმატეთ x -x-ს. პირობები x და -x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2y+10y=6+2$$

მიუმატეთ -2y 10y-ს.

$$8y=6+2$$

მიუმატეთ 6 2-ს.

$$8y=8$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x-10y=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-10=-2$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=8,y=1$$