გადაწყვიტეთ {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 1+y-ზე.

$$x+2y=3+3y+1$$

შეკრიბეთ 3 და 1, რათა მიიღოთ 4.

$$x+2y=4+3y$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x+2y-3y=4$$

დააჯგუფეთ 2y და -3y, რათა მიიღოთ -y.

$$x-y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 1-y-ზე.

$$8-y=2-2y+3x$$

დაამატეთ 2y ორივე მხარეს.

$$8-y+2y=2+3x$$

დააჯგუფეთ -y და 2y, რათა მიიღოთ y.

$$8+y=2+3x$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$8+y-3x=2$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$y-3x=2-8$$

გამოაკელით 8 2-ს -6-ის მისაღებად.

$$y-3x=-6$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-y=4$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=y+4$$

ჩაანაცვლეთ y+4-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

გაამრავლეთ -3-ზე y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

მიუმატეთ -3y y-ს.

$$-2y-12=-6$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=6$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x=y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3+4$$

მიუმატეთ 4 -3-ს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 1+y-ზე.

$$x+2y=3+3y+1$$

შეკრიბეთ 3 და 1, რათა მიიღოთ 4.

$$x+2y=4+3y$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x+2y-3y=4$$

დააჯგუფეთ 2y და -3y, რათა მიიღოთ -y.

$$x-y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 1-y-ზე.

$$8-y=2-2y+3x$$

დაამატეთ 2y ორივე მხარეს.

$$8-y+2y=2+3x$$

დააჯგუფეთ -y და 2y, რათა მიიღოთ y.

$$8+y=2+3x$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$8+y-3x=2$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$y-3x=2-8$$

გამოაკელით 8 2-ს -6-ის მისაღებად.

$$y-3x=-6$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 1+y-ზე.

$$x+2y=3+3y+1$$

შეკრიბეთ 3 და 1, რათა მიიღოთ 4.

$$x+2y=4+3y$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x+2y-3y=4$$

დააჯგუფეთ 2y და -3y, რათა მიიღოთ -y.

$$x-y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 1-y-ზე.

$$8-y=2-2y+3x$$

დაამატეთ 2y ორივე მხარეს.

$$8-y+2y=2+3x$$

დააჯგუფეთ -y და 2y, რათა მიიღოთ y.

$$8+y=2+3x$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$8+y-3x=2$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$y-3x=2-8$$

გამოაკელით 8 2-ს -6-ის მისაღებად.

$$y-3x=-6$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

იმისათვის, რომ x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

გაამარტივეთ.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

გამოაკელით -3x+y=-6 -3x+3y=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

მიუმატეთ -3x 3x-ს. პირობები -3x და 3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y-y=-12+6$$

მიუმატეთ 3y -y-ს.

$$2y=-12+6$$

მიუმატეთ -12 6-ს.

$$2y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: -3x+y=-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x-3=-6$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-3$$