გადაწყვიტეთ {l}{m+n=-3}{2n-3m=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ m + n = - 3 }\\{ 2 n - 3 m = 1 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$n = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$m+n=-3$$

გამოაკელით n განტოლების ორივე მხარეს.

$$m=-n-3$$

ჩაანაცვლეთ -n-3-ით m მეორე განტოლებაში, -3m+2n=1.

$$-3\left(-n-3\right)+2n=1$$

გაამრავლეთ -3-ზე -n-3.

$$3n+9+2n=1$$

მიუმატეთ 3n 2n-ს.

$$5n+9=1$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5n=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$n=-\frac{8}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{8}{5}-ით n აქ: m=-n-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=-\left(-\frac{8}{5}\right)-3$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{8}{5}.

$$m=\frac{8}{5}-3$$

მიუმატეთ -3 \frac{8}{5}-ს.

$$m=-\frac{7}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

იმისათვის, რომ m და -3m ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-3m-3n=-3\left(-3\right),-3m+2n=1$$

გაამარტივეთ.

$$-3m-3n=9,-3m+2n=1$$

გამოაკელით -3m+2n=1 -3m-3n=9-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-3m+3m-3n-2n=9-1$$

მიუმატეთ -3m 3m-ს. პირობები -3m და 3m გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3n-2n=9-1$$

მიუმატეთ -3n -2n-ს.

$$-5n=9-1$$

მიუმატეთ 9 -1-ს.

$$-5n=8$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$n=-\frac{8}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{8}{5}-ით n აქ: -3m+2n=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$-3m+2\left(-\frac{8}{5}\right)=1$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{8}{5}.

$$-3m-\frac{16}{5}=1$$

მიუმატეთ \frac{16}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3m=\frac{21}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$m=-\frac{7}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$