გადაწყვიტეთ {l}{8x+9y=3}{x+y=0}

$$\left. \begin{array}{l}{ 8 x + 9 y = 3 }\\{ x + y = 0 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-3$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8x+9y=3$$

გამოაკელით 9y განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=-9y+3$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{1}{8}\left(-9y+3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე -9y+3.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-9y+3}{8}-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=0.

$$-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}+y=0$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{8} y-ს.

$$-\frac{1}{8}y+\frac{3}{8}=0$$

გამოაკელით \frac{3}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{8}y=-\frac{3}{8}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -8-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{9}{8}\times 3+\frac{3}{8}$$

გაამრავლეთ -\frac{9}{8}-ზე 3.

$$x=\frac{-27+3}{8}$$

მიუმატეთ \frac{3}{8} -\frac{27}{8}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-9}&-\frac{9}{8-9}\\-\frac{1}{8-9}&\frac{8}{8-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&9\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-3,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

იმისათვის, რომ 8x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე.

$$8x+9y=3,8x+8y=0$$

გამოაკელით 8x+8y=0 8x+9y=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+9y-8y=3$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y-8y=3$$

მიუმატეთ 9y -8y-ს.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x+y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=3$$