გადაწყვიტეთ {l}{70x+190y=2035}{x+y=14.5}

$$\left. \begin{array}{l}{ 70 x + 190 y = 2035 }\\{ x + y = 14.5 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6$$

$$y=8.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$70x+190y=2035,x+y=14.5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$70x+190y=2035$$

გამოაკელით 190y განტოლების ორივე მხარეს.

$$70x=-190y+2035$$

ორივე მხარე გაყავით 70-ზე.

$$x=\frac{1}{70}\left(-190y+2035\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{70}-ზე -190y+2035.

$$x=-\frac{19}{7}y+\frac{407}{14}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{19y}{7}+\frac{407}{14}-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=14.5.

$$-\frac{19}{7}y+\frac{407}{14}+y=14.5$$

მიუმატეთ -\frac{19y}{7} y-ს.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{407}{14}=14.5$$

გამოაკელით \frac{407}{14} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{12}{7}y=-\frac{102}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{12}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{17}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{17}{2}-ით y აქ: x=-\frac{19}{7}y+\frac{407}{14}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{19}{7}\times \frac{17}{2}+\frac{407}{14}$$

გაამრავლეთ -\frac{19}{7}-ზე \frac{17}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-323+407}{14}$$

მიუმატეთ \frac{407}{14} -\frac{323}{14}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=\frac{17}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$70x+190y=2035,x+y=14.5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{70-190}&-\frac{190}{70-190}\\-\frac{1}{70-190}&\frac{70}{70-190}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{120}&\frac{19}{12}\\\frac{1}{120}&-\frac{7}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{120}\times 2035+\frac{19}{12}\times 14.5\\\frac{1}{120}\times 2035-\frac{7}{12}\times 14.5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=6,y=\frac{17}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$70x+190y=2035,x+y=14.5$$

იმისათვის, რომ 70x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 70-ზე.

$$70x+190y=2035,70x+70y=70\times 14.5$$

გაამარტივეთ.

$$70x+190y=2035,70x+70y=1015$$

გამოაკელით 70x+70y=1015 70x+190y=2035-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$70x-70x+190y-70y=2035-1015$$

მიუმატეთ 70x -70x-ს. პირობები 70x და -70x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$190y-70y=2035-1015$$

მიუმატეთ 190y -70y-ს.

$$120y=2035-1015$$

მიუმატეთ 2035 -1015-ს.

$$120y=1020$$

ორივე მხარე გაყავით 120-ზე.

$$y=\frac{17}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{17}{2}-ით y აქ: x+y=14.5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+\frac{17}{2}=14.5$$

გამოაკელით \frac{17}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=\frac{17}{2}$$